¿Sirven para algo los Logaritmos?

Una pregunta, clásica, casi obligatoria que nos hacen los alumnos a nivel medio. Muchas veces a nivel inicial se enseña "la herramienta" sin advertir su fin; muchas veces es necesario y se hace con el objetivo de no confundir; sin embargo hay en otros temas que considero importante que los chicos sepan para qué sirven estos constructos a nivel "real"; como es en el tema de los logaritmos.

Introducción

Cuando hablamos de logaritmos ¿Qué se nos viene a la mente? Seguramente creemos que estos simples exponentes no sirven para nada más que para resolverlos en clase y simplificarnos las potencias. Si es así, seria mejor conocerlos un poco más…

Un poco de historia...

La historia del logaritmo es interesante, John Napier fue el primero en definir y usar el termino logaritmo a través de un libro que desarrolló en 1614.

El logaritmo causó gran impacto en la ciencia, sobretodo la astronomía, ya que ayudaba mucho en los cálculos complejos. De hecho, según un testimonio de la época:

"Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además el calculo de las raíces se realiza también con gran facilidad."

Herry Briggs (1556-1631)

Propiedades y características

Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que enseñamos a nuestros alumnos de los logaritmos es "pura algoritmia" de cálculo sin mucha noción de comprensión.

Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso "la estrategia de los logaritmos", ha dejado de tener sentido desde el advenimiento de las máquinas que calculan, las calculadoras.

Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.

Transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.

Previamente, se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso.

Hoy en día, (a nivel medio) su utilidad radica en que permite "bajar" la incógnita de las ecuaciones exponenciales, o bien ayudar a la resolución de estas mediante el aprovechamiento de sus particulares propiedades.

Aplicaciones Importantes

Las aplicaciones más famosas de los logaritmos son las escalas logarítmicas, se denomina así a una escala de medidas cualesquiera cuyos valores se expresan en, justamente, logaritmos. 

Con esto conseguimos mayor facilidad en las expresiones, y por eso su uso está tan extendido hoy en día. A continuación vamos a estudiar algunas de las escalas logarítmicas más famosas:

[Escala de Richter]

[Escala de pH]

[Escala de decibelios]

[Escala de radiaciones]

Aplicaciones por profesión o área

• Economía y la Banca: Los índices de crecimiento son exponenciales, se aplica en la demanda y oferta, asi como obtener los porcentajes de los parámetros. Mientras en la banca sirve para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo.
• Estadística: Suele aplicarse en el crecimiento de la población.
• Publicidad: Cuando se realizan las estadísticas sobre la campaña publicitaria que se va a lanzar, se realizan cálculos matemáticos con logaritmos. Estas estadísticas definen el fracaso o éxito de la campaña.
• Medicina: Sólo es aplicable en ciertos fenómenos tales como el resultado del experimento psicológico de Stenberg. También se aplica en la inmunología.
• Psicología: Se utiliza en la ley de Weber-Fechner, fenómeno del estimulo y respuesta. Aquí la respuesta (R) se relaciona con el estimulo (E) mediante una ecuación donde por ejemplo E0 es el valor mínimo del estimulo que se encuentra en el sujeto. 
• Ingeniería Civil: Cuando se resuelven problemas específicos, siempre teniendo en cuenta una ecuación de segundo grado.
• Biología: Es aplicado en los estudios de los efectos nutricionales de los organismos. Así como también en el calculo del pH. También en la genética, donde se utiliza la estadística y la probabilidad para saber sobre lo que un hijo heredara de sus padres.
• Geología: Sirven de cálculo para calcular la intensidad de un evento, así como un sismo o un terremoto. Aquí es usado en la escala de Richter, donde la intensidad de un sismo se conoce en base a los logaritmos.
• Astronomía: Para determinar la magnitud estelar de una estrella o planeta se usan cálculos de carácter logarítmico para determinar la brillantez y magnitud.  Al establecer la luminosidad visible de una estrella, se opera con tablas de logaritmos en base 2.5.
• Química: Para calcular el pH de las sustancias se utilizan logaritmos. El pH normalmente es medido constantemente debido al efecto de las lluvias ácidas producidas por el azufre de las plantas eléctricas y fabricas.
• Topografía: Cuando queremos determinar la altura de un edificio usando la base y el ángulo.
• Música: El pentagrama es una escala logarítmica ya que la altura del sonido es proporcional a la del numero de frecuencia, además ayuda a medir los grados de tonalidad ya que se pueden representar por el logaritmo en base 2.

Resumiendo

Para terminar este tema, les transcribo un artículo de Adrián Paenza, conocido divulgador de matemática ...

¿Qué son los logaritmos? ¿Para qué sirven? ¿En qué se aplican?
Por Adrián Paenza

Quiero contar una breve historia. No estoy seguro de que haya sido exactamente así,
pero es un recuerdo distorsionado de mi pasado.

Para fijar las ideas, digamos que tenía entre 7 y 8 años. Mi padre solía charlar
conmigo sobre diferentes situaciones de la vida cotidiana. Trataba de interesarme en
lo que sucedía a mi alrededor. Vivió (y mi madre también, claro) intentando que mi
hermana y yo entendiéramos la importancia de respetar al otro, de ser generosos,
solidarios. No sé si lo consiguió, pero ciertamente lo intentó.

Recuerdo que una vez trajo un librito pequeño, con muchas páginas. Cada página
tenía muchos números. Muchos. Cada número figuraba en una pequeña tabla. Si la
memoria no me traiciona, creo que en el lomo (del libro) decía: “Tablas de logaritmos
de Lalande”.

Aunque parezca raro, mi idea, al ver tantos números, era saber si podía descubrir
cómo estaban ordenados y qué patrón podía encontrar. Era fácil advertir que estaban
dispuestos de menor a mayor, pero ¿qué separaba a uno del siguiente? ¿Cómo hacer
para calcular el próximo sabiendo el anterior?

No me daba cuenta de que, si hubiera habido una manera de hacerlo, ¿para qué
alguien habría de escribir y publicar un libro sobre el tema? Es decir, si hubiera habido
alguna forma de descubrir el número siguiente, conociendo el anterior, no tendría
sentido escribir esas tablas. Sería equivalente a que aparecieran publicadas las tablas
de multiplicar.

La pregunta obvia era entonces: ¿para qué sirven? ¿Qué son los logaritmos?
Mi viejo me preguntó: “¿Qué es más fácil: multiplicar o sumar?”. Yo contesté lo mismo
que usted está pensando: “sumar”.

Luego –como era esperable– vino otra pregunta de mi padre: “¿Qué es más fácil:
calcular potencias de números o multiplicar?”, que obtuvo la respuesta obvia:
“multiplicar”.
Y eso, aunque parezca una banalidad, es lo que uno tiene que saber si quiere hacer
cálculos en forma más sencilla. Obviamente, en la década de 1950 no había
calculadoras ni computadoras. Por lo tanto, si uno tenía que hacer operaciones con
números grandes (de muchos dígitos), usar logaritmos era la forma de abordarlos.

En esencia, los logaritmos ayudan a multiplicar números de muchos dígitos. Si bien no
voy a hacer acá el desarrollo de la teoría de los logaritmos, lo primero que uno
aprende de ellos es que si tuviera que multiplicar dos números “grandes”, lo que hace
es calcularles el logaritmo a ambos, luego sumar esos logaritmos y, después, se
vuelve para atrás (lo que en la escuela se llama “calcular el antilogaritmo”, o bien uno
vuelve para atrás con la función exponencial).

Para simplificar, supongamos que uno tiene que multiplicar dos números escritos
como potencias de 10. Digamos 10^5 x 10^7 . Dicho de otra forma:
100.000 x 10.000.000 (*), o sea, cien mil por diez millones.

El número 5 –que aparece en 10^5– cuenta la cantidad de “ceros” que tiene el primer
número, y de la misma forma el número 7 –que aparece en 10^7–cuenta el número de
ceros que tiene el segundo.

Entonces, si uno calcula los logaritmos de ambos, obtiene 5 y 7. Los suma y obtiene el
número 12. “Volver para atrás”, en este caso, significa poner un uno seguido de doce
ceros, y por lo tanto, el resultado de multiplicar 10^5 x 10^7 = 10^12= 1.000.000.000.000.
La cantidad de dígitos que tiene un número indica cuán grande es. Lo que hace el
logaritmo de ese número –entre otras cosas– es detectar cuántos dígitos tiene y, por lo
tanto, saber qué tamaño tiene.
De esa forma, uno tiene idea del tamaño que tendrá el producto. Después lo podrá
calcular con mayor o menor precisión, pero estimar el número de dígitos permite
estimar el tamaño del producto.

Por supuesto, los logaritmos tienen múltiples aplicaciones que sería imposible
enumerar acá. Pero, al menos ahora, si alguien viene y le pregunta para qué puede
servir conocer el logaritmo de un número, usted le puede contestar que tener ese dato
permite saber (entre otras cosas) el tamaño del número. Permite también convertir
multiplicaciones en sumas y potencias en productos. Se usan para convertir cuentas
complicadas en otras mucho más sencillas.

Pero el logaritmo (y su inversa, la función exponencial) también se usa para medir la
intensidad de un terremoto (en la escala de Richter), para evaluar cuánto tiempo
llevaría la solución de un problema mediante una computadora (lo que se llama
estimar la complejidad de un proceso), para describir el decaimiento radiactivo de una
sustancia, para medir cómo se expande una enfermedad o cómo crece o decrece una
colonia de bacterias, para calcular cómo crece un determinado capital invertido en un
banco a un cierto interés, en múltiples ocasiones en ingeniería y física... y la lista
continúa. Hasta para medir semitonos en las partituras de música están presentes.
Para todos aquellos que nacimos antes de la era de las calculadoras-computadoras,
usar logaritmos y reglas de cálculo era nuestra única salvación. Los usábamos para
resolver operaciones larguísimas y cuentas tediosas que, hoy, abordamos con total
naturalidad. Lo que pasa es que hoy nos resultan transparentes. Están, sí, pero no se
los ve.
(*) 10^5 = 100.000 y 10^7= 10.000.000

¿Que conceptos podemos extraer del artículo? [Dale click a los vínculos, vago]

• Logaritmo
• Escala Richter
• Escala pH
• Decibelio

Fuentes:
*Conocimiento público de frikadas.
*Wikipedia
*Logaritmos y su historia
La mayoría de este reporte fue escrito y elaborado por mí, Agustín Pocetti, como así el diseño de algunas imágenes y la traducciones. Cualquier reproducción de mis opiniones sin mi consentimiento esta prohibida, excepto que pongan la fuente de donde salió, tal cual hago yo con ciertos segmentos y siguiendo con la política Fair Use. (corta la bocha)